复数与余弦和

一道题的感想

Problem:求$\cos{\dfrac{\pi}{7}}+\cos{\dfrac{3\pi}{7}}+\cos{\dfrac{5\pi}{7}}$的值

要是有耐心地算算就能知道这个和是$\dfrac{1}{2}$

但是，咋就会这么巧呢，几乎算不出来的三角函数值求和竟然得到如此美妙的结果！

实在是好奇，上面的题是$n=7$，咱就试试$n=9,11$啥的不行吗？

我拿出了我的CASIO……

真香，全是$\dfrac{1}{2}$!!!

猜想以下恒等式成立：$$\sum_{k=1}^{n}{\cos{\dfrac{2k-1}{2n+1}\pi}}=\dfrac{1}{2}$$

如此邪乎的三角函数和怎能想不到复数？

大胆构造：设$x_k$为方程$x^{2n+1}=-1$的$n$个幅角在$(0,\pi)$复根，则$$x_k=\cos{\dfrac{2k+1\pi}{2n-1}}+\text{i}\sin{\dfrac{2k-1\pi}{2n+1}}$$

不难想到$\dfrac{1}{x_k}$这个东西，也是根，而且范围都在$(\pi,2\pi)$

考虑这个东西$$\omega_k=x_k+\dfrac{1}{x_k}=2\cos{\dfrac{2k-1}{2n+1}\pi}$$

以及$x^{2n+1}+1=0$即为$$(x+1)(x^{2n}-x^{2n-1}+\cdots-x+1)=0$$

而$x\neq 0$，于是$$x^{n}-x^{n-1}+\cdots-\dfrac{1}{x^{n-1}}+\dfrac{1}{x^n}=0$$

这是个关于$x+\dfrac{1}{x}$的$n$次多项式，考察$x^{n-1}$的系数，可以先凑配出前两项$$F(x+\dfrac{1}{x})=(x+\dfrac{1}{x})^n-(x+\dfrac{1}{x})^{n-1}+\cdots$$

也即$$F(\omega)=\omega^{n}-\omega^{n-1}+\cdots=0$$

根据韦达定理，可以知道$$2\sum_{k=1}^{n}{\cos{\dfrac{2k-1}{2n+1}\pi}}=\sum_{k=1}^{n}{\omega_k}=1$$

于是$$\sum_{k=1}^{n}{\cos{\dfrac{2k-1}{2n+1}\pi}}=\dfrac{1}{2}$$

完事，反正就是挺有意思的

根据上面的过程，就可以想明白$\cos{\dfrac{\pi}{7}},\cos{\dfrac{3\pi}{7}},\cos{\dfrac{5\pi}{7}}$就是函数$f(x)=8x^3-4x^2-4x+1$的三个零点，于是乘积啥的都能求了。其他情况也一样，通过构造出多项式就啥都能写出来了！

The END