自己拿2021年乙卷的题玩了玩，发现切点弦的过程竟然占了答题卡区域的三分之一。心生卡面不够的恐惧，特此整理一下切点弦引理，力求压缩答卷时间和空间。

文字表述、计算方式已经过最大优化，并保证在高考阅卷时不会扣分，如果有更好的建议可以评论在下方。

抛物线 书写过程

引理：对抛物线\(C:y^2=2px\)以及一点\(Q(x_Q,y_Q)\)，若QA与QB与C相切，则AB方程为：\(l_Q:y_Qy=p(x+x_Q)\)

证明：先任取一点\(S(x_s,y_s)\in C\)，证明\(l_s\)与C相切；首先易知\(S\in l_s,Q\in l_Q\)

对\(l_s\)有\(x=\frac{y_s}{p}y-x_s\)，与C联立得\(y^2-2y_sy+2px_s=0\)

计算\(\Delta=4(y_s^2-2px_s)=0\)，于是方程有等实根，\(l_s\)与C相切。

对QA、QB与C相切，知\(Q\in l_B:y_by=p(x+x_b)\)，于是\(y_ay_Q=p(x_a+x_Q)\)

同理\(y_by_Q=p(x_b+x_Q)\)，所以A、B都在\(l_Q:y_Qy=p(x+x_Q)\)上，证毕

椭圆 书写过程

引理：对椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)以及一点\(P(x_P,y_P)\)，若PA与PB与C相切，则AB方程为：\(l_P:\frac{x_Px}{a^2}+\frac{y_Py}{b^2}=1\)

证明：先任取一点\(Q(x_0,y_0)\in C\)，证明\(l_Q\)与C相切；首先易知\(Q\in l_Q,P\in l_P\)

(1)\(l_Q\)有斜率，即\(y_0\not=0\)

此时对\(l_Q\)有\(y=\frac{b^2}{y_0}-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}x\)，与C联立得\(x^2+(\frac{ab}{y_0}-\frac{b^2x_0}{a^2y_0})^2=a^2\)即$$\frac{a^2y_0^2+b^2x_0^2}{a^2y_0^2}x^2-\frac{2b^2x_0}{y_0^2}x+(\frac{a^2b^2-a^2y_0^2}{y_0^2})=0$$注意\(a^2y_0^2+b^2x_0^2=a^2b^2\)，于是\(\Delta=\frac{4b^4x_0^2}{a^4y_0^4}-4\frac{a^2b^2}{y_0^2}\cdot\frac{b^2x_0^2}{y_0^2}=0\)

于是方程有等实根，\(l_Q\)与C相切。

(2)\(l_Q\)无斜率，即\(y_0=0,x_0=\pm a\)，\(Q(a,0)\)对应\(x=a\)，\(Q(-a,0)\)对应\(x=-a\)，都与C切于Q

对PA、PB与C相切，知\(P\in l_B:\frac{x_bx}{a^2}+\frac{y_by}{b^2}=1\)，于是\(\frac{x_bx_P}{a^2}+\frac{y_by_P}{b^2}=1\)
同理\(\frac{x_ax_P}{a^2}+\frac{y_ay_P}{b^2}=1\)，所以A、B都在\(\frac{x_Px}{a^2}+\frac{y_Py}{b^2}=1\)上，证毕