Problem：已知正数\(a,b,c\)满足\(x^5+y^5+z^5=3\)，求证：\(\dfrac{x^4}{y^3}+\dfrac{y^4}{z^3}+\dfrac{z^4}{x^3}\geq 3\)
证明：$$10\dfrac{x^4}{y^3}+3(x^{10}+x^5y^5+x^5y^5)\geq 19x^{\frac{100}{19}}$$
同理列出其他的两个不等式，相加得到
$$10(\dfrac{x^4}{y^3}+\dfrac{y^4}{z^3}+\dfrac{z^4}{x^3}) + 3(x^5+y^5+z^5)^2 \geq 19(x^{\frac{100}{19}}+y^{\frac{100}{19}}+z^{\frac{100}{19}})$$
根据幂平均不等式知$$(\dfrac{x^{\frac{100}{19}}+y^{\frac{100}{19}}+z^{\frac{100}{19}}}{3})^{\frac{19}{100}}\geq (\dfrac{x^5+y^5+z^5}{3})^{\frac{1}{5}}=1$$
整理即得$$10(\dfrac{x^4}{y^3}+\dfrac{y^4}{z^3}+\dfrac{z^4}{x^3})\geq 3\times 19-3\times 3^2=30$$
于是$$\dfrac{x^4}{y^3}+\dfrac{y^4}{z^3}+\dfrac{z^4}{x^3}\geq 3$$
叨叨几句... 3 条评论
这个次数的不等式实在是太强，柯西、均值、排序什么的一步就放过头。
出题人你真是666
由切比雪夫不等式得：
\(\frac{x^5}{y^3x}+\frac{y^5}{z^3y}+\frac{z^5}{x^3z}\geqslant \frac{1}{3}(x^5+y^5+z^5)(\frac{1}{x^3y}+\frac{1}{y^3z}+\frac{1}{z^3x})\)
即证明：
\(A=\frac{1}{x^3y}+\frac{1}{y^3z}+\frac{1}{z^3x}\geqslant 3\)
由柯西t2引理得：
\(A\geqslant \frac{(1+1+1)^2}{x^3y+y^3z+z^3x}\)
由排序不等式可知：
\(x^3y+y^3z+z^3x\leqslant x^4+y^4+z^4\)
函数\(f(x)=x^{\frac{5}{4}}\)在零到正无穷上都有\({f}”(x)> 0\)
所以由琴生不等式得：
\(1=\frac{(x^4)^{\frac{5}{4}}+(y^4)^{\frac{5}{4}}+(z^4)^{\frac{5}{4}}}{3}\geqslant (\frac{x^4+y^4+z^4}{3})^\frac{5}{4}\)
所以：
\(x^4+y^4+z^4\leqslant 3\)
所以：
\(A\geqslant \frac{9}{3}=3\)
证毕
@真心为你1997
第一步的切比雪夫大小不能确定啊